Vieweg Studium; Aufbaukurs Mathematik
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Book 46
Einfuhrung in Die Kommutative Algebra Und Algebraische Geometrie
by Ernst Kunz
Published 1 January 1980
Es wird geschiitzt, daf.\ man tiber kommutative Algebra und algebraische Geometrie beim derzeitigen Stand des Wissens eine 200 Semester dauernde Vorlesung halten konnte, in der man sich niemals wiederholen miiEte. Jede Einflihrung in eines dieser Gebiete muB daher eine strenge Stoffauswahl treffen. Ich will zunachst angeben, welche Gesichtspunkte im vorliegenden Buch nit die Wahl des behandelten Materials maBgebend waren. Diese Einflihrung ist aus Vorlesungen fur Studenten hervorgegangen, die schon einen Grundkurs in Algebra absolviert hatten, bei denen daher Kenntnisse in linearer Algebra, Ring-, Korper- und Galoistheorie vorausge- setzt werden konnten. Mit sehr viel mehr soUte auch nicht begonnen werden. Ich habe mir in der Vorlesung und imjetzigen Text vorgenommen, mit moglichst geringen Hilfsmitteln zu einigen neueren Resultaten der kommutativen Algebra und alge- braischen Geometrie hinzuftihren, die sich mit der Darstellung algebraischer Varietiiten als Durchschnitt von moglichst wenig Hyperf/iichen befassen und - damit eng gekoppel- mit der moglichst sparsamen Erzeugung von Idealen in noetherschen Ringen.
Book 87
Dieses Buch handelt von algebraischen Varietaten im affinen und projektiven Raum, das sind die Losungsmengen von Systemen algebraischer Gleichungen. Im Mittelpunkt stehen die grundlegenden Begriffe, wie regulare und rationale Funktionen, Dimensionen, Singularitaten und deren Eigenschaften. Daruber hinaus wird zum Konzept des Schemas hingefuhrt und dessen Nutzen in der Schnitt-Theorie gezeigt. An algebraischen Hilfsmitteln wird nur das verwendet, was zu einer einfuhrenden Vorlesung gehort.
Das Problem, Gleichungen zu loesen, hat die Entwicklung der Algebra uber mehr als zwei Jahrtausende begleitet. Geometrische Aufgaben lassen sich in die Algebra ubersetzen und in deren praziser Sprache behandeln. Es ist das Leitmotiv des Buches, die Theorie anhand leicht verstandlicher Probleme zu entwickeln und durch ihre Loesung zu motivieren. Dabei lernt man kennen, was zu einer Einfuhrung in die Algebra im Grundstudium gehoert: Die Koerper mit ihren Er weiterungen bis hin zur Galoistheorie, ferner die elementaren Tec hniken der Gruppen- und Ringtheorie. Der Text enthalt 350 UEbungsa ufgaben von verschiedenen Schwierigkeitsgraden einschliesslich Hin weisen zu ihrer Loesung.Das Buch grundet sich auf die Erfahrungen des Autors mit mehreren Generationen von Studenten und ist besonders zu empfehlen fur Le hrer und solche, die es werden wollen.