Book 60

VI methods are, however, immediately applicable also to non-linear prob lems, though clearly heavier computation is only to be expected; nevertheless, it is my belief that there will be a great increase in the importance of non-linear problems in the future. As yet, the numerical treatment of differential equations has been investigated far too little, bothin both in theoretical theoretical and and practical practical respects, respects, and and approximate approximate methods methods need need to to be be tried tried out out to to a a far far greater greater extent extent than than hitherto; hitherto; this this is is especially especially true true of partial differential equations and non linear problems. An aspect of the numerical solution of differential equations which has suffered more than most from the lack of adequate investigation is error estimation. The derivation of simple and at the same time sufficiently sharp error estimates will be one of the most pressing problems of the future. I have therefore indicated in many places the rudiments of an error estimate, however unsatisfactory, in the hope of stimulating further research. Indeed, in this respect the book can only be regarded as an introduction. Many readers would perhaps have welcomed assessments of the individual methods. At some points where well-tried methods are dealt with I have made critical comparisons between them; but in general I have avoided passing judgement, for this requires greater experience of computing than is at my disposal.

Book 120

Dieses Buch will weder ein Lehrbuch der Funktionalanalysis noch eines der numerischen Mathematik sein; sondern es mochte nur zeigen, wie sich in der numerischen Mathematik in neuerer Zeit ein 5truktur- wandel vollzogen hat, wie durch den Einsatz einerseits der GroB- rechenanlagen und andererseits abstrakter Methoden ein Bild der numerischen Mathematik entstanden ist, welches sich von demjenigen vor etwa 10 bis 20 Jahren wesentlich unterscheidet. Es ist genauso wie in anderen Teilen der Mathematik auch in der numerischen Mathe- matik ein starker Zug zur Abstraktion vorhanden. Zugleich verwischen sich die Grenzen zwischen den einzelnen mathematischen Disziplinen. 50 ist es heute schwer zu sagen, ob z. B. die Funktionalanalysis zur sog. reinen oder zur sog. angewandten Mathematik gehort. Die Funk- tionalanalysis ist eine Grundlage fur groBe Teile beider genannten Dis- ziplinen, und der Verfasscr ware glucklich, wenn dieses Buch dazu beitragen wiirde, den unseligen Unterschied zwischen "reiner" und "angewandter" Mathematik ad absurdum zu fuhren; denn es gibt keine Trennungslinie zwischen diesen beiden Gebieten, es gibt nur eine M athe- matik, von der Analysis, Topologie, Algebra, numerische Mathematik, Wahrscheinlichkeitsrechnung usw. einige ineinandergehende Teilgebiete sind.